Теорема об эквивалентности определений Коши и Гейне

Определения по Коши и Гейне эквивалентны.

Аналогично теореме в одномерном случае $\Large{\implies}$ Пусть $A$ — предел функции $f$ в точке $x^0$ по Коши. Покажем, что $A$ является пределом и по Гейне. Рассмотрим произвольную последовательность $\{x^n\} \subset D \setminus \{x^0\}\mathpunct{:}~~ x^n \xrightarrow{n \to \infty} x^0$. По заданному $\varepsilon > 0$ найдем $\delta_{\varepsilon} > 0$ такое, что при всех $x$, для которых $0 < \rho(x, x^0) < \delta_{\varepsilon}$, выполняется условие $|f(x) - A| < \varepsilon$. Так как $x^n \xrightarrow{n \to \infty} x^0$, то существует число $N$, зависящее от этого $\delta_{\varepsilon}$, а в конечном счете зависящее от $\varepsilon$, такое, что $\forall{n > N}$ справедлива оценка $\rho(x^n, x^0) < \delta_{\varepsilon}$. Тогда для этих $n$ имеем $|f(x^n) - A| < \varepsilon$, т. е. $A = \lim\limits_{n \to \infty} f(x^n)$. Таким образом, $A$ является пределом функции $f$ по Гейне. $\Large{\impliedby}$ Пусть $A$ — предел функции $f$ в точке $x^0$ по Гейне. Покажем, что $A$ является пределом и по Коши. Предположим, что это не так. $$\exists{\varepsilon_0 > 0}~~ \forall{\delta}~~ \exists{x \in D}\mathpunct{:}~~ 0 < \rho(x, x^0) < \delta \land |f(x) - A| \geq \varepsilon_0$$ Возьмем последовательно $\delta = 1, \dfrac{1}{2}, \ldots, \dfrac{1}{n}, \ldots$ Для каждого $n$ получим точку $x^n$: $$x^n \neq x^0, \quad \rho(x^n, x^0) < \dfrac{1}{n}, \quad |f(x^n) - A| \geq \varepsilon_0$$ Эта последовательность относится к числу тех, которые рассматриваются в определении предела по Гейне, но для нее $|f(x^n) - A| \geq \varepsilon_0$, что противоречит условию, что $A$ — предел функции $f$ по Гейне. $\square$